机器学习 _ 统计模型之（二）贝叶斯网络

1. 贝叶斯网络

  贝叶斯网络 (Bayesian network)，又称信念网络 (Belief Network)，或有向无环图模型。它用网络结构代表领域的基本因果知识。

  贝叶斯网络中的节点表示命题（或随机变量），认为有依赖关系（或非条件独立）的命题用箭头来连接。

  令 G = (I,E) 表示一个有向无环图 (DAG)，其中 I 代表图形中所有的节点的集合，而 E 代表有向连接线段的集合，且令 X = (Xi)，i ∈ I 为其有向无环图中的某一节点 i 所代表的命题，则节点 X 的联合概率可以表示成：

  其中 Pa(i) 是 i 的父结点，是 i 的因。联合概率可由各自的局部条件概率分布相乘得出：

 p(x1,…,xk)=p(xk|x1,….,xk-1)…p(x2|x1)p(x1)

  这里顺便说一下朴素贝叶斯，由于其中各个变量 x 相互独立 p(x2|x1)=p(x2)，得出：

 p(x1,…,xk)=p(xk)…p(x2)p(x1)

  因此说朴素贝叶斯是贝叶斯网络的一种特殊情况。

2. 例程

(1) 功能

 eBay 的 Bayesian-belief-networks 是一个贝叶斯网络的 python 工具包，此例为使用该库解决蒙提霍尔三门问题。

(2) 问题描述

  蒙提霍尔是概率中的经典问题，出自美国的电视游戏节目。问题的名字来自该节目的主持人蒙提•霍尔（Monty Hall）。参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门可赢得该汽车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊（主持人不会打开有车的那扇门）。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。问题是：换另一扇门会否增加参赛者赢得汽车的机率？答案是：不换门的话，赢得汽车的几率是 1/3。换门的话，赢得汽车的几率是 2/3。

  这是为什么呢？接着往下看。

(3) 下载安装

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$ git clone https://github.com/eBay/bayesian-belief-networks

(4) 代码

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from bayesian.bbn import build_bbn

def f_prize_door(prize_door):
    return 0.33333333
def f_guest_door(guest_door):
    return 0.33333333
def f_monty_door(prize_door, guest_door, monty_door):
    if prize_door == guest_door:  # 参赛者猜对了
        if prize_door == monty_door:
            return 0     # Monty不会打开有车的那扇门，不可能发生
        else:
            return 0.5   # Monty会打开其它两扇门，二选一
    elif prize_door == monty_door:
        return 0         #  Monty不会打开有车的那扇门，不可能发生
    elif guest_door == monty_door:
        return 0         # 门已经由参赛者选定，不可能发生
    else:
        return 1	# Monty打开另一扇有羊的门

if __name__ == '__main__':
    g = build_bbn(
        f_prize_door,
        f_guest_door,
        f_monty_door,
        domains=dict(
            prize_door=['A', 'B', 'C'],
            guest_door=['A', 'B', 'C'],
            monty_door=['A', 'B', 'C']))

    g.q()
    g.q(guest_door='A')
g.q(guest_door='A', monty_door='B')

(5) 运行结果

(6) 分析

  程序中构建的贝叶斯网络如下图所示。

  先看看库是如何使用的，首先通过三个判别函数（节点对应的是判别函数，并不对应三个门）以及它们之间的依赖关系定义了网络 g 的结构，节点和连线关系是程序员根据业务逻辑定义的。而机器用来优化和计算在给定的条件下产生结果的概率。

 prize_door 和 guest_door 都是随机的，所以概率都是 0.333；而主持人知道哪扇门后是奖，所以 monty_door 由另外两个结点（父结点）决定的，当参赛者猜对时，Monty 会打开另两门之一，没猜对时 Monty 只能打开另一扇有羊的门。

  从运行结果可以看到：先验是随机抽取的 0.333，随着限制条件依次加入，不确定性逐渐变小，最终，参赛者如果选择换门（C）的赢率变为不换门（A）的两倍。